Hvad er en tumlende rotation?

Fora ASTRO-FORUM NYT FRA VIDENSKABEN Hvad er en tumlende rotation?

  • Dette emne har 0 svar og 1 stemme, og blev senest opdateret for 6 år, 2 måneder siden af Bjarne. This post has been viewed 867 times
Viser 1 indlæg (af 1 i alt)
  • Forfatter
    Indlæg
  • #314468

    Bjarne
    Moderator
      • Super Nova

      Den fremmede småplanet ‘Oumuamua ser ud til at være et stift irregulært legeme, som ikke deformeres af sin egen tyngdekraft. Den påvirkes desuden ikke af et ydre kraftmoment, så den udfører en fri rotation omkring tyngdepunktet.

      Massefordelingen omkring tyngdepunktet af et irregulært stift legeme bestemmer 3 hovedakser, som igen definerer 3 på hverandre vinkelrette enhedsvektorer e1(t), e2(t) og e3(t), som rorerer med småplaneten. De 3 enhedsvektorer definerer et koordinatsystem, som roterer med småplaneten. Om disse enhedsvektorer gælder (ved anvendelse af højrehåndsreglen):
      e3  =  e1 × e2,   e1  =  e2 × e3,   e2  =  e3 × e1

      Et stift legemes rotation defineres af en rotationsvektor ω(t), hvis længde angiver vinkelhastigheden. ω kan som enhver anden vektor angives ved de tre koordinater (ω1, ω2, ω3) i det roterende koordinatsystem bestemt ved de 3 enhedsvektorer. ω kan derfor udtrykkes som

      ω(t) = ω1(t)e1(t) + ω2(t)e2(t) + ω3(t)e3(t).

      Inertimomenterne (I1, I2, I3) langs de tre hovedakser er konstanter, som alene er bestemte af massefordelingen omkring tyngdepunktet. De tre komponenter (L1, L2, L3) af impulsmomentvektoren L er givet ved (I1ω1, I2ω2, I3ω3), så L er givet ved

      L(t) = I1ω1(t)e1(t) + I2ω2(t)e2(t) + I3ω3(t)e3(t), hvor dL/dt = 0, da kraftmomentet omkring tyngdepunktet er nul.

      En vektor v, som roterer med rotationsvektoren ω har den tidslige differentialkvotient dv/dt = ω × v. Dette anvendes til at finde differentialkvotienterne for de tre enhedsvektorer:

      de1/dt = ω × e1 = ω3e2 – ω2e3
      de2/dt = ω × e2 = ω1e3 – ω3e1
      de3/dt = ω × e3 = ω2e1 – ω1e2

      Jeg er nu klar til at differentiere impulsmomentvektoren L(t) med hensyn til tiden

      dL/dt = I1(dω1/dt)e1 + I2(dω2/dt)e2 + I3(dω3/dt)e3 + I1ω1(de1/dt) + I2ω2(de2/dt) + I3ω3(de3/dt)

      Jeg indsætter nu (dei/dt), for i=1,2,3 og samler alle led med samme enhedsvektor:

      dL/dt = {I11/dt +(I3-I22ω3}e1 + {I22/dt +(I1-I31ω3}e2 + {I33/dt +(I2-I11ω2}e3 = 0

      Dette betyder, at indholdet i hver af de 3 paranteser bliver nul, så jeg får de 3 første-ordens differentialligninger:

      I1(dω1/dt) + (I3 – I22ω3 = 0
      I2(dω2/dt) + (I1 – I31ω3 = 0
      I3(dω3/dt) + (I2 – I11ω2 = 0

      Disse tre ligninger kaldes Eulers ligninger for et stift legemes rotation om tyngdepunktet.

      Alle tre vinkelhastigheder omkring hovedakserne varierer med tiden. Det er dette faktum, som begrunder betegnelsen en tumlende bevægelse. Men er der slet ikke noget, som er konstant under den tumlende bevægelse? Jo, vi ved allerede, at impulsmomentvektoren L er en bevægelseskonstant, hvorfor dens kvadrat L2 også er konstant:

      L2 = L12 + L22 + L32 = I12ω12 + I22ω22 + I32ω32

      Jeg ganger nu de tre Euler-ligninger med henholdsvis ω1, ω2 og ω3, hvorefter jeg adderer ligningerne og finder ligningen:

      I1ω1(dω1/dt) + I2ω2(dω2/dt) + I3ω3(dω3/dt) = 0, som igen kan integreres til at give det konstante udtryk:

      2T = I1ω12 + I2ω22 + I3ω32, hvor T er rotationens kinetiske energi.

      For en given rotationsenergi T befinder rotationsvektorens endepunkt sig på en ellipsoide, som kaldes vinkelhastigheds-ellipsoiden. Jeg vil nu udregne vektorproduktet ω∙L mellem rotationsvektoren ω og impulsmomentvektoren L:

      ω∙L = I1ω12 + I2ω22 + I3ω32 = 2T

      (fortsættes)

    Viser 1 indlæg (af 1 i alt)
    • Emnet 'Hvad er en tumlende rotation?' er lukket for nye svar.