Tilsyneladende overlyshastighed

[BjarneModeratorSuper Nova]

Sky & Telescope (April 2020, side 30): A Curious Stright Ray.
Heber Doust Curtis opdagede i 1918 en mærkelig jet i M87. Der er tale om en kollimeret relativistisk jet, som næsten bevæger sig i retningen af observatøren. Den har nogle fortætninger, som tilsyneladende bevæger sig med overlyshastighed i himmelkuglens plan. Hvordan kan dette forklares?

Vi må først gøre os klart, at afstanden til den elliptiske galakse M87 er så stor, at observatørens tid t er forsinket i forhold til galaksens tid t’.

En fortætning bevæger sig på en ret linje, som danner vinklen θ med retningen mod observatøren. Farten af fortætningen antages at være V. Afstanden fra observatøren til fortætningen målt i galaksens tid t’ angives ved r(t’) = r₀ – t’Vcos θ. Afstanden vinkelret på retningen fra observatøren til fortætningen, ligeledes målt i galaksens tid t’, er x(t’) = x₀ + t’Vsin θ.

Jeg finder de tilsvarende hastigheder i de to retninger ved at differentiere med hensyn til galaksens tid t’:
dx(t’)/dt’ = Vsin θ
dr(t’)/dt’ = -Vsin θ

Observatørens tid t er forsinket i forhold til galaksens tid t’ med udtrykket
t(t’) = t’ + r(t’)/c, hvor c er lysets fart i det tomme rum.
Jeg differentierer dernæst t(t’) med hensyn til t’ og får følgende udtryk
dt(t’)/dt’ = 1 + (dr(t’)/dt’)/c = 1 – (V/c)cos θ = 1 – βcos θ, hvor β = V/c.

Jeg ønskede egentlig at finde den vinkelrette hastighed dx(t’)/dt’ målt med observatørens tid t i stedet for med galaksens tid t’. Dette opnås ved anvendelse af kædereglen for differentiation:

dx(t)/dt = dx(t’)/dt’dt'(t)/dt = dx(t’)/dt/(dt(t’)/dt’) = Vsin θ/(1 – βcos θ)

Jeg har benyttet mig af reglen for differentiation af den inverse funktion:
dt'(t)/dt = 1/(dt(t’)/dt’)

Jeg angiver til slut den vinkelrette hastighed i enheder af lyshastigheden:

β_⊥ = (dx(t)/dt)/c = βsin θ/(1 – βcos θ)

Dette er ligningen, man finder på side 33 i Sky & Telescope. Jeg benytter mig ikke af fotoner, kun af afstande og den tidslige forsinkelse mellem observatørens tid og galaksens tid.

Bemærk: Størrelsen af lysets forsinkelse eller tøven, som Rømer kalder den, indgår slet ikke i formlen.

[Forfatter]

Indlæg