Tabt text til Bjarne T

Note til Bjarne:

Det var egentlig meningen at superscript og subscript i firkantede parenteser skulle funke, men noget gør, at de ikke virker. Jeg har også udvidet TinyMCE, så de burde medtage redigeringsikonerne i visuel editoren, men jeg er ikke sikker på, at de virker på bbPress-siderne. Det virker dog på ordinære WordPress-sider:

Shortcode-eksempel:

H[subscript]2[/subscript]0

E = m c[superscript]2[/superscript]

TinyMCE-eksempel:

H20

E = m c2

 

Her er din tekst klippet direkte ind fra databasen:
(Der bliver nok brug for en søg/erstat, da det ser ud til at og er blevet dobbelt konverteret/escapet et sted i processen. Det kan fx ske, hvis man indsætter HTML-kode i den visuelle editor.)

Den fremmede småplanet ‘Oumuamua ser ud til at være et stift irregulært legeme, som ikke deformeres af sin egen tyngdekraft. Den påvirkes desuden ikke af et ydre kraftmoment, så den udfører en fri rotation omkring tyngdepunktet.

Massefordelingen omkring tyngdepunktet af et irregulært stift legeme bestemmer 3 hovedakser, som igen definerer 3 på hverandre vinkelrette enhedsvektorer e<sub>1</sub>(t), e<sub>2</sub>(t) og e<sub>3</sub>(t), som rorerer med småplaneten. De 3 enhedsvektorer definerer et koordinatsystem, som roterer med småplaneten. Om disse enhedsvektorer gælder (ved anvendelse af højrehåndsreglen):
e<sub>3 </sub>= e<sub>1 </sub>× e<sub>2</sub>, e<sub>1 </sub>= e<sub>2 </sub>× e<sub>3</sub>, e<sub>2 </sub>= e<sub>3 </sub>× e<sub>1</sub>.

Et stift legemes rotation defineres af en rotationsvektor ω(t), hvis længde angiver vinkelhastigheden. ω kan som enhver anden vektor angives ved de tre koordinater (ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub>, ω<sub>3</sub>) i det roterende koordinatsystem bestemt ved de 3 enhedsvektorer. ω kan derfor udtrykkes som

ω(t) = ω<sub>1</sub>(t)e<sub>1</sub>(t) + ω<sub>2</sub>(t)e<sub>2</sub>(t) + ω<sub>3</sub>(t)e<sub>3</sub>(t).

Inertimomenterne (I<sub>1</sub>, I<sub>2</sub>, I<sub>3</sub>) langs de tre hovedakser er er konstanter, som alene er bestemt af massefordelingen omkring tyngdepunktet. De tre komponenter (L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub>, L<sub>3</sub>) af impulsmomentvektoren L er givet ved (I<sub>1</sub>ω<sub>1</sub>, I<sub>2</sub>ω<sub>2</sub>, I<sub>3</sub>ω<sub>3</sub>), så L er givet ved

L(t) = I<sub>1</sub>ω<sub>1</sub>(t)e<sub>1</sub>(t) + I<sub>2</sub>ω<sub>2</sub>(t)e<sub>2</sub>(t) + I<sub>3</sub>ω<sub>3</sub>(t)e<sub>3</sub>(t), hvor dL/dt = 0, da kraftmomentet omkring tyngdepunktet er nul.

En vektor v, som roterer med rotationsvektoren ω har den tidslige differentialkvotient dv/dt = ω × v. Dette anvendes til at finde differentialkvotienterne for de tre enhedsvektorer:

de<sub>1</sub>/dt = ω × e<sub>1</sub> = ω<sub>3</sub>e<sub>2</sub> – ω<sub>2</sub>e<sub>3</sub>
de<sub>2</sub>/dt = ω × e<sub>2</sub> = ω<sub>1</sub>e<sub>3</sub> – ω<sub>3</sub>e<sub>1</sub>
de<sub>3</sub>/dt = ω × e<sub>3</sub> = ω<sub>2</sub>e<sub>1</sub> – ω<sub>1</sub>e<sub>2</sub>

Jeg er nu klar til at differentiere impulsmomentvektoren L(t) med hensyn til tiden

dL/dt = I<sub>1</sub>(dω<sub>1</sub>/dt)e<sub>1</sub> + I<sub>2</sub>(dω<sub>2</sub>/dt)e<sub>2</sub> + I<sub>3</sub>(dω<sub>3</sub>/dt)e<sub>3</sub> + I<sub>1</sub>ω<sub>1</sub>(de<sub>1</sub>/dt) + I<sub>2</sub>ω<sub>2</sub>(de<sub>2</sub>/dt) + I<sub>3</sub>ω<sub>3</sub>(de<sub>3</sub>/dt)

Jeg indsætter nu (de<sub>i</sub>/dt), for i=1,2,3 og samler alle led med samme enhedsvektor:

dL/dt = {I<sub>1</sub>dω<sub>1</sub>/dt +(I<sub>3</sub>-I<sub>2</sub>)ω<sub>2</sub>ω<sub>3</sub>}e<sub>1</sub> + {I<sub>2</sub>dω<sub>2</sub>/dt +(I<sub>1</sub>-I<sub>3</sub>)ω<sub>1</sub>ω<sub>3</sub>}e<sub>2</sub> + {I<sub>3</sub>dω<sub>3</sub>/dt +(I<sub>2</sub>-I<sub>1</sub>)ω<sub>1</sub>ω<sub>2</sub>}e<sub>3</sub> = 0

Dette betyder, at indholdet i hver af de 3 paranteser bliver nul, så jeg får de 3 første-ordens differentialligninger:

I<sub>1</sub>(dω<sub>1</sub>/dt) + (I<sub>3</sub> – I<sub>2</sub>)ω<sub>2</sub>ω<sub>3</sub> = 0
I<sub>2</sub>(dω<sub>2</sub>/dt) + (I<sub>1</sub> – I<sub>3</sub>)ω<sub>1</sub>ω<sub>3</sub> = 0
I<sub>3</sub>(dω<sub>3</sub>/dt) + (I<sub>2</sub> – I<sub>1</sub>)ω<sub>1</sub>ω<sub>2</sub> = 0

Disse tre ligninger kaldes Eulers ligninger for et stift legemes rotation om tyngdepunktet.

Alle tre vinkelhastigheder omkring hovedakserne varierer med tiden. Det er dette faktum, som begrunder betegnelsen en tumlende bevægelse. Men er der slet ikke noget, som er konstant under den tumlende bevægelse? Jo. Vi ved allerede, at impulsmomentvektoren L er en bevægelseskonstant, hvorfor dens kvadrat L<sup>2</sup> også er konstant:

L<sup>2</sup> = L<sub>1</sub><sup>2</sup> + L<sub>2</sub><sup>2</sup> + L<sub>3</sub><sup>2</sup> = I<sub>1</sub><sup>2</sup>ω<sub>1</sub><sup>2</sup> + I<sub>2</sub><sup>2</sup>ω<sub>2</sub><sup>2</sup> + I<sub>3</sub><sup>2</sup>ω<sub>3</sub><sup>2</sup>

Jeg ganger nu de tre Euler-ligninger med henholdsvis ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub> og ω<sub>3</sub>, hvorefter jeg adderer ligningerne og finder ligningen:

I<sub>1</sub>ω<sub>1</sub>(dω<sub>1</sub>/dt) + I<sub>2</sub>ω<sub>2</sub>(dω<sub>2</sub>/dt) + I<sub>3</sub>ω<sub>3</sub>(dω<sub>3</sub>/dt) = 0, som igen kan integreres til at give det konstante udtryk:

2T = I<sub>1</sub>ω<sub>1</sub><sup>2</sup> + I<sub>2</sub>ω<sub>2</sub><sup>2</sup> + I<sub>3</sub>ω<sub>3</sub><sup>2</sup>, hvor T er rotationens kinetiske energi.

For en given rotationsenergi T befinder rotationsvektorens endepunkt sig på en ellipsoide, som kaldes vinkelhastighedeellipsoiden. Jeg vil nu udregne vektorproduktet ω∙L mellem rotationsvektoren ω og impulsmomentvektoren L:

ω∙L = I<sub>1</sub>ω<sub>1</sub><sup>2</sup> + I<sub>2</sub>ω<sub>2</sub><sup>2</sup> + I<sub>3</sub>ω<sub>3</sub><sup>2</sup> = 2T

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *